Большая советская энциклопедия - диофантовы приближения
Диофантовы приближения
диофантовы приближения
Диофантовы приближения, часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Д. п. названы по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — так называемых диофантовых уравнений. Методы теории Д. п. основаны на применении непрерывных дробей, Фарея рядов и Дирихле принципа. Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью всех этих трех методов и особенно с применением непрерывных дробей. Приближение действительного числа a подходящими дробями pklqk разложения a в непрерывную дробь характеризуется неравенством |a — pk/qk| < 1/qk2; с другой стороны, если несократимая дробь a/b удовлетворяет неравенству |a — а/b | < 1/2b2, то она является подходящей дробью разложения a в непрерывную дробь. Глубокие исследования о приближении действительных чисел a рациональными дробями принадлежат А. А. Маркову (старшему). Существует много расширений задачи о приближении числа рациональными дробями; к ним прежде всего относится задача об изучении выражений xq — у — a, где q и a — некоторые действительные числа, а х и у принимают целые значения (так называемая неоднородная одномерная задача). Первые результаты в решении этой задачи принадлежат П. Л. Чебышеву. Среди разнообразных теорем о приближенном решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи Д. п.) особенно известна теорема, принадлежащая Л. Кронекеру: если a1,..., an — действительные числа, для которых равенство a1a1 +...+anan = 0 с целыми a1,..., an возможно лишь при a1 =... = an = 0, a b1,..., bn — некоторые действительные числа, то при любом заданном e > 0 можно найти число t и такие целые числа х1,..., xn, что выполняются неравенства |tak - bk - xk| < e, k = 1,2,..., n. Для решения многомерных задач Д. п. весьма плодотворным является принцип Дирихле. Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили А. Я. Хинчину и др. ученым построить систематическую теорию многомерных Д. п. Для теории Д. п. важное значение имеет связь с геометрией, основанная на том, что систему линейных форм с действительными коэффициентами можно изобразить как решетку в n-мepном арифметическом пространстве. В конце 19 в. Г. Минковский доказал ряд геометрических теорем, имеющих приложения в теории Д. п. В вопросах нелинейных Д. п. замечательные результаты получил И. М. Виноградов. Созданные им методы занимают центральное место в этой области теории чисел. Одной из важнейших задач теории Д. п. является проблема приближения алгебраических чисел рациональными. К Д. п. относится теория трансцендентных чисел, в которой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов от одного и нескольких чисел с целыми коэффициентами. Теория Д. п. тесно связана с решением диофантовых уравнений и с различными задачами аналитической теории чисел. Лит.: Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; Гельфонд А. О., Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел, «Успехи математических наук», 1949, т. 4, в. 4; Фельдман Н. И., Шидловский А. Б., Развитие и современное состояние теории трансцендентных чисел, там же, 1967, т. 22, в. 3; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 3 изд., М., 1961; Koksma J. F., Diophantische Approximationen, B., 1936.
Рейтинг статьи:
Комментарии:
См. в других словарях
1.
раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. ...Большой энциклопедический словарь
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Ссылка для сайта или блога:
Ссылка для форума (bb-код):
Самые популярные термины
1 | 4928 | |
2 | 3048 | |
3 | 3019 | |
4 | 2846 | |
5 | 2842 | |
6 | 2805 | |
7 | 2744 | |
8 | 2727 | |
9 | 2613 | |
10 | 2536 | |
11 | 2360 | |
12 | 2237 | |
13 | 2191 | |
14 | 2190 | |
15 | 2161 | |
16 | 2078 | |
17 | 2068 | |
18 | 2053 | |
19 | 2041 | |
20 | 1994 |